二進法による分類、階差数列の一般項とグラフ理論を使った、コラッツ予想は正であるという証明

抄録

本論文では、Collatz予想の新たな証明として、2進法での分類、3の倍数及び階差数列の一般項を用いてCollatz予想の証明を行う。Collatzの操作が行われるとき、我々はその結果の数に注目する。多くの数列が生成される。それは階差数列である。階差数列の一般項を計算する。そして、コラッツ予想の操作により、1以外のすべての正の奇数がコラッツの操作により、無限ループ（例1→3→4→1）に入らないことを、背理法、3の倍数、階差数列の一般項及び逆コラッツの操作を用いて証明した。

2進法での分類を用いて、桁数に注目する。我々は（3を掛けて1を足す）（A）、（2で割る）（B）の桁数の期待値を計算した。AとBの期待値を比較すると、不等号（BはA以上である）であることがわかる。したがって、Collatzの操作は正の無限大まで発散せず、最終的に2進法で1桁に到達する。2進法で得られる1桁は、10進法では1に等しく、1になる回数は限られます。

グラフ理論においてコラッツの操作は有向グラフであり、コラッツの操作から得られた有向グラフには閉路は見られない。このことは1以外の奇数は無限ループに入らない事を意味し、コラッツ予想は正であることを明らかにした。