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プレプリント / バージョン3

二進法による分類、階差数列の一般項とグラフ理論を使った、コラッツ予想は正であるという証明

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  • 松本, 真 北野病院 薬剤部

DOI:

https://doi.org/10.51094/jxiv.69

キーワード:

コラッツ予想、 3x 1、 階差数列、 期待値、 桁、 二進法、 分類、 3の倍数

抄録

本論文では、Collatz予想の新たな証明として、2進法での分類、3の倍数及び階差数列の一般項を用いてCollatz予想の証明を行う。Collatzの操作が行われるとき、我々はその結果の数に注目する。多くの数列が生成される。それは階差数列である。階差数列の一般項を計算する。そして、コラッツ予想の操作により、1以外のすべての正の奇数がコラッツの操作により、無限ループ(例1→3→4→1)に入らないことを、背理法、3の倍数、階差数列の一般項及び逆コラッツの操作を用いて証明した。

2進法での分類を用いて、桁数に注目する。我々は(3を掛けて1を足す)(A)、(2で割る)(B)の桁数の期待値を計算した。AとBの期待値を比較すると、不等号(BはA以上である)であることがわかる。したがって、Collatzの操作は正の無限大まで発散せず、最終的に2進法で1桁に到達する。2進法で得られる1桁は、10進法では1に等しく、1になる回数は限られます。

グラフ理論においてコラッツの操作は有向グラフであり、コラッツの操作から得られた有向グラフには閉路は見られない。このことは1以外の奇数は無限ループに入らない事を意味し、コラッツ予想は正であることを明らかにした。

利益相反に関する開示

利益相反はございません。

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引用文献

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http://www.kyoritsu-pub.co.jp, Midori Kobayashi, An Introduction to Graph Theory.

http://www.kurims, kyoto-u. ac. jp/ motizuki, INTER-UNIVERSAL TE- ICHMU ̈LLER THEORY I, Fig. 12.1.

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投稿日時: 2022-05-14 04:27:14 UTC

公開日時: 2022-06-13 02:59:54 UTC — 2023-03-07 08:47:57 UTCに更新

バージョン

改版理由

単純な字句の訂正と十進法における数値の分類、コラッツの操作を逆に辿った結果及びグラフ理論による考察を付け加えて、証明を補強しました。
研究分野
数学