ゼータ関数の明示的二点アーベル極限表示

抄録

リーマンゼータ関数を表すディリクレ級数 ∑{k=1}^{∞} k^{-s} は，Re s ≤ 1 では通常の意味では収束しない。本稿では，アーベル型生成関数 G_s(z)=∑{k=1}^{∞} e^{-kz}/k^s = Li_s(exp(-z)) を考える。s∉{1,2,3,...} のとき，G_s(z) の z=0 における古典的局所展開は，特異項 Γ(1−s)z^{s−1} と定数項 ζ(s) を含む。通常の一方向アーベル極限では，この特異項の寄与が残るため，Re s ≤ 1 において定数項 ζ(s) を直接の極限値として回収することはできない。本稿では，右半平面内で原点へ近づく二点を，局所展開の先頭項が二点平均で相殺されるように明示的に選ぶ。外部領域 1/2 < |s−1/2|, Re s ≤ 1 では，特異項の寄与は厳密に相殺され，ζ(s) の明示的な二点アーベル極限表示が得られる。境界 1/2 = |s−1/2|, s≠1 では，二点配置に小さな補正を加えることで右半平面内での収束性を保ちつつ，漸近的相殺により同じ極限値に到達する。得られるアーベル型級数は，十分小さい各固定正パラメータ ε に対して絶対収束し，ε→0^+ の極限で ζ(s) に収束する。