群論から高次群論へ

高村, 茂

doi:10.51094/jxiv.4942

##article.authors##

高村, 茂京都大学大学院理学研究科数学教室 https://researchmap.jp/7000008398

DOI:

https://doi.org/10.51094/jxiv.4942

キーワード:

ベズー型定理、交点理論、組合せ公式、ファイブレーション、群作用、軌道分解、高次構造、ミクロ・マクロ対応、シナジー

抄録

本稿は、松本幸夫先生80 歳記念研究集会での著者の講演原稿に大幅に加筆したものです。
内容は著者の構築してきた“高次群論” (higher group theory) の解説です。この理論の眼目は
群論全般の幾何学化です。群に「高次の対象」を導入し、さらにそれらの「上部構造」（シナ
ジー）を定めます。これは代数幾何における層に相当する役割を果たします。層からさまざま
な不変量が導かれますが、シナジーからはさまざまな新しい「群の組合せ公式」が導かれます
（部分群やコセットのみならず、部分集合の位数をも取り込んだ公式）。とくに、代数幾何にお
ける、代数曲線の交わりに関するベズーの定理に対応する「ベズー型定理」が定式化され示さ
れます（一種の非可換代数幾何）。さらに、高次群論にはモース理論的な側面もあります。

利益相反に関する開示

本論文に関して、開示すべき利益相反関連事項はない。

ダウンロード *前日までの集計結果を表示します

ダウンロード実績データは、公開の翌日以降に作成されます。

引用文献

[EiHa] D. Eisenbud, and J. Harris, The Geometry of Schemes, Springer-Verlag (1999)

[Ful] W. Fulton, Introduction to Intersection Theory in Algebraic Geometry, AMS. (1984)

[EGA1] A. Grothendieck, ´ El´ements de G´eom´etrie Alg´ebrique, I, Springer-Verlag (1971)

https://webusers.imj-prg.fr/~leila.schneps/grothendieckcircle/EGA/

EGAI.pdf 英訳版https://github.com/ryankeleti/ega/releases

[HiSaTa] R. Hirakawa, K. Sasaki, and S. Takamura, Poset-blowdowns of generalized quaternion groups, Int. J. Group Theory 13 (2) (2024), 133–160

https://ijgt.ui.ac.ir/article_27671_bbd77513b3fce38eba531a046c3e215f.pdf

[HiTa1] R. Hirakawa, and S. Takamura, Degenerations of Riemann surfaces associated with the regular polyhedra and the soccer ball, J. Math. Soc. Japan 69 No.3 (2017), 1213–1233

https://projecteuclid.org/journalArticle/Download?urlId=10.2969%2Fjmsj%2F06931213

[HiTa2] , Quotient families of elliptic curves associated with representations of dihedral groups, Publ. RIMS. 55 no.2 (2019), 319–367

https://ems.press/content/serial-article-files/41339

[HiTa3] , Linear quotient families and stabilizer posets, Kodai Math. J. 48 (2025) 145–177

https://projecteuclid.org/journals/kodai-mathematical-journal/volume-48/issue-2/Linear-quotient-families-and-stabilizer-posets/10.2996/kmj48201.short

[Isa] I. Isaacs, Finite Group Theory, AMS. (2008)

[高村1] 高村茂, Representations of finite groups, quotient families, and regular polyhedra (in Japanese), 松本幸夫先生70 歳記念研究集会『多様体のトポロジーの展望』

https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/~kiyonok/ym2014/takamura.pdf

[高村2] , “商族の幾何学(有限群の作用と表現, ファイブレーション, モジュライ空間) ”, 『第14 回城崎新人セミナー』(2017 年2 月), 13 ページ

https://drive.google.com/file/d/1ieFR4Cof5Rb69nUutaRxYoxUEHIAB8hC/view

[高村3] , “群の高次構造とその同伴ファイブレーション—高次群論とその幾何学事始め”, 研究集会『変換群の幾何とトポロジー』(2023 年6 月), 数理研講究録2276 (2024), pp.94–117

https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~kyodo/kokyuroku/contents/pdf/2276-11.pdf

[高村4] , “高次群論とその幾何学”, 研究集会『有限群論，代数的組合せ論，頂点代数の研究』(2023 年12 月), 数理研講究録2287 (2024), pp.105–119

https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~kyodo/kokyuroku/contents/pdf/2287-14.pdf

[高村5] , On higher group theory and its geometry (in Japanese), 松本幸夫先生80 歳記念研究集会『多様体のトポロジーの進展』(2024 年11 月), 10 ページ

https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/~kawazumi/progress/takamura.pdf

[高村6] , “群の高次構造とその幾何学”, 研究集会『有限群のコホモロジー論とその周辺』(2024 年2 月), 数理研講究録2306 (2025), pp.86–101

https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~kyodo/kokyuroku/contents/pdf/

-13.pdf

[高村7] , “高次群論とその幾何学II さまざまな分野との照応＆群論版双曲線の変形論”, 研究集会『有限群論，代数的組合せ論，頂点代数の研究』(2024 年12 月),数理研講究録2329 (2025), pp.95–121

https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~kyodo/kokyuroku/contents/pdf/2329-12.pdf

[高村8] , “高次群論とその幾何学III 交点理論と退化理論”, 研究集会『変換群論の新しい展開』(2025 年5 月), 数理研講究録2325 (2025), pp.122–136

https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~kyodo/kokyuroku/contents/pdf/2325-17.pdf

[高村9] , “高次群論と代数曲線”, 研究集会『代数曲線論』(2025 年12 月), 9 ページ

https://jxiv.jst.go.jp/index.php/jxiv/preprint/view/1740/4446

[高村10] , “高次群論とその幾何学IV”, 研究集会『有限群論，代数的組合せ論，頂点代数の研究』(2025 年12 月), 数理研講究録

[Ta1] Shigeru Takamura, Towards the classification of atoms of degenerations, I, (Splitting criteria via configurations of singular fibers), J. Math. Soc. Japan 56 (1) (2004) 115–145

https://www.jstage.jst.go.jp/article/jmath1948/56/1/56_1_115/_pdf/-char/ja

[Ta2] , Towards the classification of atoms of degenerations, II, (Quotient Singularities and Degenerations of Riemann Surfaces), RIMS Preprint 1344 (2001), Revised and expanded version (2026), 1103 ページ

https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/preprint/file/RIMS1344-revision.pdf

[Ta3] , Towards the classification of atoms of degenerations, III, (Splitting Deformations of Degenerations of Complex Curves), Springer Lecture Notes in Math. 1886 (2006), 608 ページ

https://link.springer.com/book/10.1007/978-3-540-33364-7

[Ta4] , Linearization of quotient families, J. Math. Sci. Univ. Tokyo 26 (2019), 361–389

https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/journal/26-3-3.pdf

[Ta5] , Classification of finite groups with birdcage-shaped Hasse diagrams, Osaka J. Math. 58 (4) (2021), 885–897

https://www.i-repository.net/contents/osakacu/sugaku/00306126-58-4-885.pdf

[Ta6] , Blowdown maps between subgroup posets, Tokyo J. of Math. 45 (2) (2022), 467–499

https://projecteuclid.org/journals/tokyo-journal-of-mathematics/volume-45/issue-2/Blowdown-Maps-between-Subgroup-Posets/10.3836/tjm/1502179359.full

[Ta7] , Prime factorizations of finite groups, I, Advances in Group Theory and Applications 19 (2024) 1–55

https://www.advgrouptheory.com/journal/Volumes/19/Takamura.pdf

[Ta8] , Prime factorizations of finite groups, II, Advances in Group Theory and Applications 21 (2025) 11–109

https://www.advgrouptheory.com/journal/Volumes/21/Takamura.pdf

[Ta9] , Prime factorizations of finite groups, III, Advances in Group Theory and Applications 22 (2025) 1–26

https://www.advgrouptheory.com/journal/Volumes/22/Takamura.pdf

[Ta10] , The orders of subgroup products and coset products, Transactions on Combinatorics 14 (2025) 223–250

https://toc.ui.ac.ir/article_28670_ebc3ac219eb683b98452f6d44ee439b0.pdf

[Ta11] , B´ezout type theorem for higher order objects of groups, (2024), to appear in Osaka J. Math.

[Ta12] , B´ezout theorem for groups, (2025) Preprint

[Ta13] , Higher B´ezout theorem for groups, (2026) Preprint