九九から量子力学へ：球面剰余幾何学（球面九九）による電子軌道の空間対称性の導出とSTEAM教育への応用

抄録

本稿では、小学校の算数で扱う「九九」と「モジュロ（剰余）演算」を出発点とし、量子力学における電子軌道（球面調和関数）の空間対称性を幾何学的に導出・可視化する全く新しい数理モデル「球面剰余幾何学（球面九九モデル）」を提案する。1次元（円周上）の離散的な乗算ルールを、3次元球面の経度と緯度に対して独立して同時適用した結果、そこに創発される立体幾何学模様がs，p，d，f 軌道の確率密度分布と視覚的に完全に一致することを示した。このことを電子軌道の空間的対称性を決定づける球面調和関数  とトポロジー的に同一であることを数学的に証明する。さらに本研究は、この離散アルゴリズムがシュレディンガー方程式の変数分離法、ならびに定常波の境界条件（磁気量子数および方位量子数の量子化）と数学的に等価であることを、複素指数関数およびルジャンドル陪関数の零点解析を通じて論証する。高度な偏微分方程式を用いずとも、直感的な幾何学操作によってミクロの宇宙の基本構造を探究できる本モデルは、初等数学から現代物理学へのシームレスな接続を実現する極めて有用なSTEAM教材である。本研究で使用したシミュレータ群は、Zenodoデータリポジトリにてオープンソースとして公開されている。