九九から量子力学へ：球面剰余幾何学（球面九九）による電子軌道の空間対称性の導出とSTEAM教育への応用

抄録

本稿では、小学校の算数で扱う「九九」と「モジュロ（剰余）演算」を出発点とし、量子力学における電子軌道（球面調和関数）の空間対称性を幾何学的に導出・可視化する数理モデル「球面剰余幾何学（球面九九モデル）」を提案する。1次元（円周上）の離散的な乗算ルールを、3次元球面の経度と極角（余緯度）に対して独立して同時適用した結果、そこに創発される立体幾何学模様が s, p, d, f 軌道の確率密度分布のノード構造と対応することを示す。この離散アルゴリズムがシュレディンガー方程式の変数分離法、ならびに定常波の境界条件（磁気量子数および方位量子数）と数学的に対応関係にあることを、複素指数関数およびルジャンドル陪関数の零点解析を通じて論証する。高度な偏微分方程式に依存せず、直感的な幾何学操作によってミクロの構造を探究できる本モデルは、初等数学から現代物理学への接続を支援するSTEAM教材として活用可能である。併せて、本モデルの対象範囲（角度成分の節のトポロジーに限定される点、極角方向の不連続性に対する振幅補正フィルターの必要性、動径波動関数の課題等）についても明確に報告する。本研究で使用したシミュレーター群は、本論文関連データで公開している。